Liouville type theorem for p-harmonic maps and morphisms

Abstract

The classical Liouville theorem for harmonic maps is that any bounded harmonic functions on the whole plane must be constant. This Liouville theorem has been studied by many authors. In this thesis, we study Liouville type theorems for p-harmonic maps and p-harmonic morphisms with finite p-energy. Any p-harmonic maps from a complete Riemannian manifold M of a Ricci curvature bounded from the below by negative constant depending on p to a complete Riemannian manifold N of non-positive sectional curvature is shown to be constant if it has finite p -energy. Moreover, we prove any p-harmonic morphisms from a complete Riemannian manifold of the Ricci curvature bounded below by a p-dependent negative constant to a complete Riemannian manifold of non-positive scalar curvature is constant if it has finite p-energy.

조화함수에 대한 고전적인 리우빌정리는 "평면상에서 유계된 조화 함수는 상수 뿐이다."이다. 본 논문에서는 유한의 p-에너지를 갖 는 p-조화함수에 대한 리우빌형식의 정리를 연구하였다. 즉, 리치 곡률 Ric^(M)≥ -4( p - 1)/p²×μ_(0) 을 만족하는 완비인 리만다양체로부터 양 수가 아닌 단면곡률을 갖는 리만다양체로의 p-조화함수가 유한 p -에너지를 가지면 p -조화함수는 상수이다. 또한 양수가 아닌 scalar 곡률을 갖는 완비인 리만다양체로의 p-조화사상이 유한 p -에너지를 가지면 p-조화사상은 상수이다.