On the Class Q*-작용소, 2-isometries, Quasi-isometries and Posiquasi-isometries

Abstract

본 논문에서 Q-작용소, 2-등거리변환 작용소(2-isometry), 유사-등거리변환 작용소(quasi-isometry) 그리고 새롭게 정의한 Q*-작용소와 양유사-등거리변환 작용소(posiquasi-isometry)의 대수적 성질과 이들 작용소들의 스펙트럼의 특성을 연구한다. 그리고 이들 작용소들과 하이퍼노말(hyponormal), 파라노말(paranormal)작용소들 등과의 관계를 조사한다. 양유사-등거리변환 작용소들의 집합은 유사-등거리변환 작용소들의 집합의 확장이며 모든 가역적 작용소들을 포함한다. 또한 가중 일단전진이동 작용소(unilateral weighted shift)가 Q-작용소, Q*-작용소, 2-등거리변환 작용소, 유사-등거리변환 작용소, 양유사-등거리변환 작용소가 되기 위한 필요충분조건을 제시한다. 특히 힐버트 공간에서 유계 선형 작용소 T가 2-등거리변환 작용소 또는 유사-등거리변환 작용소라고 하면 바일정리(Weyl's theorem)가 T에 대하여 성립하고, f가 T의 스펙트럼을 포함하는 개 근방에서 정의한 해석적 함수라고 할 때, T의 바일 스펙트럼은 f(T)에 대해 스펙트럼 함수 정리(spectral mapping theorem)를 만족시키며 나아가 f(T)가 바일정리를 만족한다는 것을 밝힌다. 어떤 작용소가 양유사-등거리변환 작용소가 되기 위한 필요충분조건들을 제시하며, 모든 유사-멱영원(quasinilpotent)이고 양유사-등거리변환 작용소는 영인 작용소이며 양유사-등거리변환 작용소의 임의의 거듭제곱은 또한 양유사-등거리변환 작용소임을 밝힌다. 그리고 모든 양유사-등거리변환 작용소들의 집합은 L(H)의 작용소 노름 위상(operator norm topology)에서 닫혀있지 않음을 보인다.

In this thesis we shall study some algebraic and spectral properties of several classes of operators: Q-operators, 2-isometries, quasi-isometries, and two new operators that are defined below as Q*-operators and posiquasi-isometries; The class of posiquasi-isometries is an extension of the class of quasi-isometries and includes all invertible operators. And we investigate the relationship between these and other operators, i.e., hyponormal, paranormal operators, and so on. Moreover, we give necessary and sufficient conditions for a unilateral weighted shift to be a Q-operator, Q*-operator, 2-isometry, quasi-isometry, and posiquasi-isometry respectively. In particular we show that if an operator T∈L(H) on a Hilbert space H is either 2-isometry or quasi-isometriy, then the Weyl's theorem holds for T and for every T∈H(δ(T)), its Weyl spectrum satisfies the spectral mapping theorem for f(T), where H(δ(T)) denotes the set of analytic functions on an open neighborhood of δ(T). Furthermore, we show that the Weyl's theorem holds for f(T). Also we give necessary and sufficient conditions for an operator to be a posiquasi-isometry and show that every quasinilpotent posiquasi-isometry is zero, any power of a posiquasi-isometry is also a posiquasi-isometry, and the set of all posiquasi-isometries is not closed in the operator norm topology on L(H).