Extreme preservers of integer matrix pairs derived from column rank inequalities

Abstract

본 논문에서는 음이 아닌 정수에서 원소를 가지는 행렬의 짝들로 구성되는 집합들을 보존하는 전사 선형연산자의 형태를 규명하는 연구를 하였다. 이것은 선형보존자 문제의 일환으로서 세계적으로 선형대수학자들이 100여 년 동안 연구해오는 중요한 연구과제의 하나이다. 본 논문의 연구에 앞선 연구들에서 행렬의 계수를 보존하는 선형연산자가 규명되었고, 또 행렬의 계수 부등식과 관련된 행렬 짝들의 집합을 보존하는 선형연산자의 연구가 있었다. 본 논문은 비음의 정수 상에서 원소를 갖는 행렬들에 대하여 열 계수가 일반 계수와 다르다는 것에 착안하여, 일반계수에 대한 연구를 열 계수에 관한 연구로 옮겨서 연구하였다. 본 연구에서 구성한 행렬 짝들의 집합들은 두 정수 행렬들의 합과 곱의 열 계수와 관련된 부등식의 극치인 경우들에서 자연스럽게 나타나는 행렬 짝들의 집합들이다. 이 행렬 짝들의 집합들은 두 정수 행렬의 열 계수들의 합과 차 또는 이 정수 행렬을 실수 행렬로 간주할 때 나타나는 실수 행렬 계수의 차와 관련된 부등식들에서 극치인 경우들로 구성하였다. 곧, 그 중 몇 가지를 열거하면 다음과 같다. CAN(Z+) = {(X, Y ) 2Mm,n(Z+)2

c(X + Y ) = n}; CAR(Z+) = {(X, Y ) 2Mm,n(Z+)2

c(X + Y ) =

(X) − (Y )

}; CM2(Z+) = {(X, Y ) 2Mn(Z+)2

c(XY ) = c(X)}; CMR(Z+) = {(X, Y ) 2Mn(Z+)2

c(X + Y ) = (X) + (Y ) − n}; 이상의 행렬 짝들의 집합을 선형연산자 로 보내어 그 집합의 특성들을 보존하는 전사 선형연산자를 연구하여 그 형태를 규명하였다. 곧, 이러한 행렬 짝들의 집합을 보존하는 전사 선형연산자의 형태는 또는 로 나타남을 보이고, 이들을 증명하였다. 여기서 와 는 각 행과 열에 1이 하나만 있는 순열 행렬이다. 또한 본 논문에서 규명한 전사 선형연산자 외에도 위의 집합들을 보존하는 전사가 아닌 선형연산자들의 예를 보였다.

In this thesis, we investigate the surjective linear operators that preserve the sets of integer matrix pairs. These sets are naturally occurred at the extreme cases for the column rank inequalities relative to the sums and multiplications of integer matrices. These sets were constructed with the nonnegative integer matrix pairs which are related with the ranks of the sums and difference of two integer matrices or compared between their column ranks and their real ranks. That is, we construct the following sets ; CAN(Z+) = {(X, Y ) 2Mm,n(Z+)2

c(X + Y ) = n}; CAR(Z+) = {(X, Y ) 2Mm,n(Z+)2

c(X + Y ) =

(X) − (Y )

}; CM2(Z+) = {(X, Y ) 2Mn(Z+)2

c(XY ) = c(X)}; CMR(Z+) = {(X, Y ) 2Mn(Z+)2

c(X + Y ) = (X) + (Y ) − n}; For these sets, we consider the linear operators that preserve their properties. We characterize those linear operators as T(X) = PXQ or T(X) = PXPt with appropriate permutation matrices P and Q. We also give some examples of nonsurjective linear maps that preserve these sets.