Term Rank Inequalities of Boolean Matrices and Linear Preservers

Abstract

부울 行列의 項 階數 不等式과 線型 保存者

本 論文에서는 國際線型代數學 分野에서 100년이 넘도록 硏究되고 있는 線形保存者 問題의 一環으로 세 가지 主題를 중심으로 硏究하였다. 첫째 主題는 일반화된 부울 代數 上의 行列의 項 係數와 관련된 行列짝들의 集合을 보존하는 線形保存者를 糾明하는 硏究이다. 一般的인 부울 代數 上의 集合에서 두 行列의 合과 곱에 대하여 項 階數의 값에 관한 不等式을 調査하여 그 不等式들이 等式이 되는 경우의 行列 짝들로 構成되는 여러 가지 極値 集合들을 構成하였다. 이 行列 짝들의 集合을 保存하는 線形保存者를 硏究하여 그 形態를 糾明하였다. 곧, 이러한 行列 짝들의 集合을 保存하는 線形保存者의 形態는 또는 와 같은 形態로 나타남을 보이고, 이들을 證明하였다. 둘째 主題는 일반화된 부울 代數 上의 行列의 零 項 係數와 관련된 行列짝들의 集合을 보존하는 線形保存者를 糾明하는 硏究이다. 곧, 零 項 係數 不等式의 極値 집합들을 구성하여, 그 집합들을 保存하는 線型演算者의 形態를 또는 와 같은 形態로 나타남을 보이고, 이들을 證明하였다. 셋째 主題는 일반화된 부울 代數 上에서 定規行列의 性質들을 調査 分析하고, 定規行列 를 線形演算者로 보내어 다시 定規行列이 되게 할 경우에 그 線形演算者의 形態는 적당한 可逆行列 와 가 存在하여 또는 形態로 糾明됨을 밝혔고, 이를 부울 行列의 特性을 活用하여 證明하였다. 感謝의 글

수학에 대한 열정은 어느 누구 못지않게 대단하였지만 대학 졸업 후 여러 가지 이유로 더 이상 학업을 잇지 못한 것이 항상 마음 속에 아쉬움으로 자리잡고 있었습니다. 그 후 이십여 년간 가정일과 학교 업무로 바쁘지만 즐겁게 생활하면서도 시간이 지날수록 텅 비어가는 듯한 제 자신을 느끼게 되었습니다. 제 자신에게 변화와 재충전의 기회가 필요하다고 생각하면서 석사과정에 진학하겠다고 했을 때 가족들도 큰 반대없이 동의하여 주었습니다. 그렇게 시작한 지가 어느덧 7년을 넘기고 이렇게 큰 결실을 얻게 된 것은 저를 아끼고 배려해 준 분들의 도움이 없었다면 있을 수 없는 일이라 생각합니다. 학교에 근무하는 것을 배려하여 밤늦은 시간까지 강의해 주신 수학과 교수님들과 부족한 저를 세심한 지도로 이 자리까지 올 수 있게 해 주신 송석준 교수님께 더할 수 없는 존경과 감사의 마음을 전합니다. 석사논문 발표, 박사과정 강의 수강 등으로 가장 어려웠던 시기에 용기와 도움을 준 김녕구 식구들, 그리고 논문 마무리 과정에서 끝까지 최선을 다할 수 있도록 배려해 준 세화고 선생님들과 이 기쁨을 함께하고 싶습니다. 학교 업무, 대학원 수업 등으로 항상 시간에 쪼들리며 가사에 부족함이 많은 엄마 그리고 아내이지만 항상 신뢰하고 격려해 준 두 아들, 막내 딸 전영이 그리고 사랑하는 남편에게 감사하는 마음을 전합니다. 끝으로 힘든 투병 생활 속에서 삶의 끈을 놓지 않고 이겨내 준 사랑하는 친정어머니와 늙은 아내 병간호로 늘 고단하시면서도 딸의 학업과정을 꼭 챙기시며 흐뭇해하신 친정아버지께 모든 기쁨을 바칩니다.

2013년 1월