FIXED POINT THEOREMS ON CONE METRIC SPACES WITH c-DISTANCE

Abstract

Let X be an arbitrary nonempty set and f : X → X be a mapping. A ¯xed point for f is a point x ∈ X such that fx = x. Fixed point theory is one of the most powerful and fruitful tools of modern mathematics and may be considered a core subject of nonlinear analysis started by Banach in 1922. After that a considerable amount of research work for the development of fixed point theory have been executed by several authors. Banach has proved the fixed point theorem for a single-valued mapping in the setting of a complete metric space known as the Banach contraction principle. Huang and Zhang([5]) introduced the cone metric space which is more general than the concept of a metric space and obtained some fixed point theorems in that space. After that, a series of articles have been dedicated to the improvement of fixed point theory. Also Cho et al.([3]) introduced the c-distance in a cone metric space and obtained some fixed point results. The idea of common fixed point was initially given by Jungck([6]), and Wang and Guo([12]) proved common fixed points results for two self mappings in a cone metric space under c-distance. In this paper, we obtain suffcient conditions for existence of a unique coincidence point and a common fixed point for a pair of self mappings and give an example satisfying the suffcient conditions of our result. Also we obtain suffcient conditions for existence of fixed points for a nondecreasing continuous mapping on a partially ordered set satisfying contractive conditions in a cone metric space using c-distance.

X를 임의의 집합, f를 X에서 X로 가는 함수라 하자. fx=x를 만족하는 X의 원소 x 를 f의 부동점이라 한다. 부동점 이론은 현대수학의 가장 강력하고 풍부한 결과를 낳 는 소재중 하나이며, 1922년에 바나흐(Banach)가 '완비거리공간에서 축소사상은 부 동점을 갖는다'는 정리를 증명한 후에 많은 수학자들이 이 정리의 일반화된 결과를 얻었으며 이 정리는 비선형 해석학 이론의 주요 핵심 도구로 사용되고 있다. Huang 그리고 Zhang([5]) 은 거리공간의 일반화된 공간인 원뿔 거리공간 (cone metric space) 개념을 도입하고 그 공간 내에서의 여러 부동점 정리를 얻었다. 그 후 특히 c-거리를 사용한 원뿔 거리공간에서의 부동점 정리 등 여러 부동점 정리의 개선을 위한 일련의 논문들이 나왔다. 공통부동점의 개념은 Jungck([6])에 의해 시작되었고 Wang 그리고 Guo([12])는 c-  거리를 사용하여 원뿔 거리공간에서의 두 개의 함수에 관한 공통부동점에 관한 결과 를 얻었다. 본 논문에서는 거리공간의 일반화된 cone 거리공간(cone metric space)에서 c-거 리를 이용하여 축소조건을 만족하는 함수쌍에 대하여 유일한 공통일치점이 존재하기 위한 충분조건과 약한 양립 (weakly compatible)을 이용한 유일한 공통부동점을 갖 기 위한 충분조건에 대한 결과를 얻었으며, 또한 부분순서를 갖는 완비 cone 거리공 간에서 축소조건을 만족하는 감소하지 않는 연속함수에 대하여 부동점이 존재하기 위 한 충분조건에 대한 결과를 얻었다.