Common Coupled Coincidence Point Theorems of Three Mappings satisfying Generalized Contractive Condition

Abstract

Let X be an arbitrary nonempty set and f:X → X be a mapping. A fixed point for f is a point x ∈ X such that fx=x. In 1922, Banach proved the fixed point theorem for a single-valued mapping in the setting of a complete metric space known as the Banach contraction principle. After that a considerable amount of research work for the development of fixed point theory have been executed by several authors. Fixed point theory is one of the most powerful and fruitful tools of modern mathematics and may be considered a core subject of nonlinear analysis started by Banach. In 2013, Liu and Xu introduced the concept of cone metric space over Banach algebra and considered fixed point theorems. After that, some researchers started to study the existence problems of fixed points for some contractions in such cone metric spaces. In this paper, using the properties of spectral radius, we obtain sufficient conditions for existence of some common coupled coincidence point results and coupled fixed point results for three mappings S,T:X ×X → and g:X →X satisfying generalized contractive condition in a complete cone b-metric space (X,d) over Banach algebra. And by applying Theorem 3.2(not giving direct proof), we prove some common coupled coincidence point results and coupled fixed point results for three self-mappings f,h,g:X→X satisfying more general contractive condition in a cone b-metric space(X,d) over Banach algebra. Our results not only directly improve and expand several well-known comparable assertions in cone b-metric spaces over Banach algebra, but also unify and improve some previous results in cone metric spaces over Banach algebras. As applications, we obtain the existence and uniqueness of solution for some equations by using our results.

x 를 공집합이 아닌 임의의 집합이고, 함수 f:X → X , fx = x 일 때, x 를 f 의 부동점이라 한다. 바나흐(Banach)는 1922년에 완비 거리공간에서 일변수 함수에 대한 부동점 정리를 증명하였다. 이를 바나흐 축약원리(Banach contration principle)라 한다. 그 후 많은 수학자들은 부동점 이론에 대한 연구를 하였다. 부동점 이론은 현대 수학의 가장 영향력 있는 분야이며, 바나흐에 의해 시작된 비선형 해석학의 핵심주제로 여겨진다. 2013년에 Liu와 Xu는 바나흐 대수의 원뿔 거리공간의 개념을 소개하고 이 공간에서 부동점 정리(fixed point theorems)를 얻었다. 그 후에 일부 연구자들이 이런 거 리공간에서 어떤 축약사상에 대한 부동점의 존재문제 등을 연구하기 시작하였다. 이론은 많은 논문을 통하여 발전되어왔다. 본 논문에서는 스펙트럼 반지름(spectral radius)의 특성을 사용하여 바나흐 대수위의 완비 원뿔b-거리공간(complete cone b-metric space) (X,d)에서 일반화된 축약조건을 만족하는 세 개의 함수 S,T:X × X → X , g : X →X 에 대하여 공통 연계된 일치점 결과(common coupled coincidence point results)와 연계된 부동점 결과(coupled fixed point results)가 존재하기 위한 충분조건을 얻는다. 그리고 주요 정리 3.2를 적용하여, 같은 공간 (X,d)에서 더 일반화된 축약조건을 만족하는 세 개의 자기 함수(self-mapping) f,g,h : X → X에 대하여 공통 연계된 일치점 (common coupled coincidence point)과 연계된 부동점(coupled fixed point)에 관한 결과들을 증명한다. 이러한 결과들은 바나흐대수 위의 원뿔b-거리공간에서 이미 잘 알려진 비교 가능한 결과들을 개선하고 확장하였을 뿐만 아니라, 바나흐대수 위의 원뿔거리공간에서 이전의 결과들을 융합하고 개선한다. 응용으로서 논문의 결과를 이용하여 방정식의 해의 존재와 유일성을 얻는다.