Extreme Preservers of Matrix Rank Inequalities

Abstract

본 논문에서는 실수상의 행렬의 짝들로 구성되는 집합들을 구성하였다. 이 행렬짝들의 집합은 행렬들의 곱에서 그 계수를 생각할 때, 그 곱의 계수는 각각의 행렬들의 계수와 부등식 관계를 형성하는데서 착안하여, 이 부등식이 등식이 되는 극치인 경우들에서 자연스럽게 나타나는 집합들이다. 이 행렬 짝들의 집합들을 실수상의 행렬들에서 부등식들의 극치인 경우들로 구성하였다. 실수 상의 행렬 A의 계수를 p(A)로 표시한다. 그러면, n차 정방 행렬 A와B,C에 대하여, 다음과 같은 행렬 짝들의 집합을 구성할 수 있다; ∑₁ = {(A,B)│p(A+B) = p(A)+p(B)}; ∑₂ = {(A,B)│p(A+B) = p(A)-p(B)}; m₃ = {(A,B)│p(AB) = min{p(A),p(B)}}; m₄ = {(A,B)│p(AB) = p(A)+p(B)-n}; m_(5) = {(A,B,C)│p(AB) = p(BC) = p(ABC)+p(B)}; 이상의 실수상의 행렬 짝들의 집합을 선형연산자로 보내어 그 집합의 성질들을 보존하는 선형연산자를 연구하여 그 형태를 규명하였다. 곧, 이러한 실수 행렬 짝들의 집합을보존하는 선형연사자를 T:M_(n)(R) → M_(n)(R)라 둘 때 그의형태는 T(X) = aPXP^(-1)로 나타남을 보이고, 이들을 증명하였다. 그리고 이 선형연산자가 위의 집합들을 보존함을 증명하였다.

In this thesis, we construct the sets of real matrix pairs. These sets are naturally occurred at the extreme cases for the real rank inequalities relative to the sums and products of real matrices. These sets were constructed with real matrix pairs which are related with the ranks of the sums and products of two real matrices. For a given square matrix of A order n, we denote the real rank of by p(A). Then for n × n matrices A,B and C, we construct the following sets; ∑₁ = {(A,B)│p(A+B) = p(A)+p(B)}; ∑₂ = {(A,B)│p(A+B) = p(A)-p(B)}; m₃ = {(A,B)│p(AB) = min{p(A),p(B)}}; m₄ = {(A,B)│p(AB) = p(A)+p(B)-n}; m_(5) = {(A,B,C)│p(AB) = p(BC) = p(ABC)+p(B)}; For these sets of real matrix pairs, we consider the linear operators that preserve them. We characterize those linear operators as T:M_(n)(R) → M_(n)(R) by with appropriate invertible matrix P and scalar a. We also prove that these linear operators preserve above sets of matrix pairs.