초등학교 교과서 속 분수 영역 분석 및 분수 의미에 대한 교사의 사고 분석

Abstract

본 연구에서는 교과서 속 분수 영역을 5가지 의미로 분석하고, 교사가 가지고 있는 분수의 의미 및 분수 문제 속 분수의 의미를 찾음으로써 교사가 교과서의 과정에 따라 분수를 지도한다면 교사들은 어떠한 분수의 의미를 갖는지에 대한 수학 내용 지식(Subject Matter Content Knowledge)과 교수 내용 지식(Pedagogical Content Knowledge)를 분석하고자한다. 이를 통해 수학 교과서와 지도서 속 분수 영역 및 교사교육 프로그램의 개발과 운영을 위한 기초자료를 제공하는 것을 목적으로 한다.

이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. ① 초등학교 교과서 속 분수의 의미는 어떻게 다뤄지고 있는가? ② 분수의 의미에 대한 초등학교 교사들의 교과지식(SMK와 PCK)은 어떠한가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위해 3~6학년 교과서 속 분수 영역 분석과 분수의 의미에 관한 설문지를 도구로 하는 질적 조사 연구를 실시하였다. 연구 절차는 먼저 분수의 의미에 관하여 문헌 검토하고 이를 바탕으로 교과서 분석 후 분수의 의미에 관한 PCK에 대한 문항을 만들었다. 연구 대상은 현 제주도 초등학교 교사 100명이었다.

본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 교과서 분석 결과 현 교육과정에서 분수의 5가지 의미를 모두 다루는 모습을 보이고 있으나, 분수의 의미를 설명함에 있어 전체-부분의 관계로서의 분수와 측정으로서의 분수 중심으로 설명하는 모습을 볼 수 있었다. 전체-부분의 관계로서의 분수로 분수를 도입하지만 3학년 이후로 갈수록 단위분수를 많이 이용하며 측정으로서의 분수를 주로 이용하고 있으며 연산자로서의 분수, 몫으로서의 분수, 비율로서의 분수는 상대적으로 적게 다뤄지고 있었다. 그러나, 지도서에는 전체-부분의 관계로서의 분수 외에 다른 의미의 분수들에 대한 구체적인 설명이 없었다. 전체-부분의 관계로서의 분수의 의미는 필수적이나 나머지 분수를 이해하기 위해서는 충분하지 않으며, 다섯 개의 분수의 의미를 정확하게 이해하지 못할 경우 분수의 연산 및 후속 학습에 있어서 어려움을 느낄 수밖에 없을 것이다. 따라서, 전체-부분의 관계로서의 분수뿐만 아니라 다른 분수의 의미에 관해 깊은 이해가 필요할 것이다. 둘째, 분수의 다양한 의미에 관한 교사들의 SMK를 살펴보면 교사 모두 전체-부분의 관계로서의 분수를 통해 분수의 의미를 표현하고 있다는 사실을 알 수 있다. 전체-부분의 관계로서의 분수, 몫으로서의 분수, 측정으로서의 분수, 비율로서의 분수, 연산자로서의 분수 순으로 교사들이 분수의 의미를 이해하고 나타내고 있다. 이는 교육과정 속 분수개념에서 가장 기초적이고 핵심적인 전체-부분의 관계로서의 분수의 의미 이해에 비해 상대적으로 몫, 측정, 비, 연산자로서의 의미에 대한 깊은 이해가 적고 교사들의 분수의 의미에 대한 이해는 전체-부분의 관계로서의 분수의 의미에 한정적인 것으로 바라볼 수 있다. 이러한 현상은 지도서의 분수의 의미에 관한 구체적인 설명이 없음과 연관지어 생각해볼 수 있다. 따라서, 분수의 의미에 관한 지도서의 변화가 요구된다. 셋째, 전체-부분의 관계로서의 분수의 시각적인 모델에 관한 교사의 SMK는 이산량을 표현하는 이산량 모델보다는 연속량을 표현하는 영역모델, 길이모델과 같은 연속모델을 주로 이용하여 표현하는 모습이 보였다. 넷째, 몫으로서의 분수의 의미에 관한 교사의 SMK는 등분제 상황에 국한되어 있었다. 이는 3학년 1학기 똑같이 나누어주는 등분할의 상황에서 분수를 도입하고 6학년 1학기에 배우는 몫으로서의 분수의 의미와 관련이 있다. 6학년 1학기의 몫으로서의 분수 개념 중 6차시 중 5차시는 등분제 상황이고 1차시만이 포함제 상황으로 살펴볼 수 있다. 따라서, 교과서와 지도서에서 포함제 상황에서 몫으로서의 분수와 관련한 실생활 속 문장제에 대한 폭넓은 경험을 제공해야 한다. 다섯째, 연산자로서의 분수의 의미에 관한 교사의 SMK는 분수의 5가지 의미 중 가장 적었다. 소수의 교사들만이 연산자로서의 분수의 의미를 기술했으며 그 중에 4명의 교사가 모델 또는 그림을 통해 을 연산자로서의 분수로 표현하였다. 이는 연산자로서의 분수의 의미가 교사들에게 익숙하지 않은 개념이라고 볼 수 있다. 교사들이 수학수업에 있어 가장 많이 참고하는 지도서에 연산자로서의 분수를 짧게 설명하여 교사의 이해를 돕지 못하고 있다고 생각할 수 있다. 따라서, 지도서에 교사들의 분수의 연산자적 의미를 이해를 돕는 구체적인 설명이 필요할 것이다. 여섯째, 전체-부분의 관계로서의 분수에서 중요한 전체의 단위를 어떻게 설정하는지 교사의 분수감각을 살펴보았을 때, 대부분의 교사들이 전체의 단위를 다양하고 유연하게 이용하고 있지 않다고 볼 수 있었다. 대부분의 교사들은 1개의 단위로 표현하였으며 가능한 단위의 개수가 최대인 4개 모두 기술한 교사는 단 2명이었다는 사실을 알 수 있었다. 일곱째, 교사들이 주어진 막대의 길이를 통해 새로운 길이의 막대를 구할 때의 해결방법을 분석하며 교사들의 SMK를 살펴보니, 분할-반복 조작보다 통분방법을 통해 문제를 해결함을 볼 수 있었다. 통분과 식의 방법을 사용한 교사들은 형식적인 알고리즘을 이용했다고 볼 수 있으며 이에 비해 통분과 식의 방법이 아닌 분할-반복 조작을 통해 막대의 길이를 구한 교사들은 분수를 형식적으로 바라보지 않고 유연하게 받아들이고 있음을 알 수 있다. 여덟째, 대부분의 교사들은 측정으로서의 분수의 중요한 개념인 기본 단위 설정에 있어 효과적인 지도 방법을 제시하고 있다. 이들은 1m의 기준 단위를 설정하여 학생들에게 수직선상의 분수를 지도하고 있었다. 많은 교사들이 내재적으로 측정으로서의 분수의 중요한 개념인 기본 단위 설정을 인지하고 있고 이를 통해 측정으로서의 분수에 관한 효과적인 PCK를 가지고 있음을 알 수 있다. 아홉째, 연산자로서의 분수에 관한 교사들의 PCK는 정확하지 않은 모습을 보이고 있었다. 연산자로서의 분수의 의미와 관련된 문제에서 정확한 연산자로서의 분수로 설명하는 교사는 적었으며, 정확하지 않지만 연산자로서의 분수로 설명하는 경우에는 전체-부분의 관계로서의 분수로 회귀하는 모습을 보이고 있었다. 학생들의 이해를 위해 전체-부분의 관계로서의 분수 방법을 사용할 수는 있지만 연산자로서의 분수로 살펴봐야 할 문제조차 모두 전체-부분의 관계로서의 분수로만 해석하는 것은 학생과 교사의 분수에 대한 사고를 확장시키지 못할 수 있다. 열 번째, 교과서 속 분수의 진도와 교사들이 생각하는 분수의 개념 또는 의미의 진도 사이의 일치도를 살펴보니 대부분의 교사들은 전체-부분의 관계로서의 분수를 통해 분수를 도입해야한다고 생각하고 있었으나 전체-부분의 관계로서의 분수 외에 교사들이 생각하는 측정, 연산자, 몫, 비율로서의 분수의 순서와 교과서 순서와의 일치도는 현저히 낮았다. 열한 번째, 대부분의 교사들이 분수의 다양한 의미를 지도해야 한다고 말하며 그 이유는 실생활에서의 유용성, 수학적 사고, 오개념 수정, 후속 학습을 위함, 분수감각, 교사의 지식 부족, 학습의 흥미도와 관련해서 설명하였다. 흥미로웠던 점은 5가지의 의미를 모두 기술한 교사들 모두 분수의 다양한 의미 지도가 필요하다고 말하였다. 이는 분수의 다양한 의미 지도의 필요성에 있어 유의미한 결과로 살펴볼 수 있다. 열두 번째, 교사들이 생각하는 분수의 의미지도 시 어려움에는 의미 구분의 어려움, 분수의 추상적인 개념, 분수 설명 자료 부족. 다양한 문제 상황 어려워함, 학생의 도구적 이해, 전시학습의 영향, 시간 부족, 교사의 지식 부족, 분수의 언어감각, 학생들의 수준 차이, 수학적 사고가 있었다. 흥미로웠던 점은 많은 교사들이 분수 설명 자료가 부족하여 분수의 의미 지도가 어렵다고 하였다. 교사들이 요구하는 분수 설명 자료에는 실생활에서의 다양한 분수 예시, 지도서 속 다양한 분수의 의미 지도방법 등이 있다. 교사가 느끼는 분수의 의미 지도 시 어려움은 교사의 PCK에 직접적인 영향을 끼치며 이는 학생들이 분수 의미를 학습하는 데에도 영향을 준다. 따라서, 분수 의미에 대한 체계적인 지도 방안이 필요하고, 실생활 속 분수의 여러 가지 상황을 살펴봄으로써 분수의 의미에 대해 생각해 볼 수 있는 기회를 마련해야 한다. 분수의 5가지 의미에 대한 이해는 분수 개념의 기본으로서 분수의 사칙 연산의 관계적 이해, 분수 스킴 및 유연한 분수 감각을 형성하는데 영향을 주는 중요한 요소이므로 초등학교 학생들과 교사들은 분수의 다양한 상황 속 분수의 의미에 대한 풍부한 경험을 할 수 있어야 한다. 이는 학생과 교사들이 자연스럽게 학습하고 형성하는 것이 아니기 때문에 교과서와 지도서 안에서 보다 명시적으로 이루어져야 할 것이다.

This study consists of two parts: The five meanings of fraction within textbooks and the teachers' knowledge regarding the five meanings of fraction. In my research, I analyzed the teachers' Subject Matter Content Knowledge (SMK) and their Pedagogical Content Knowledge (PCK). This study focuses mainly on understanding if the teachers taught fractions according to the procedure of the textbook. I was able to do this by getting an understanding of how they interpreted the meaning of fractions, and their understanding of fraction in fraction problems. The purpose of this study is to provide the basic foundation for the development and management of the fraction in the teachers guidebook of curriculum and the teachers' education program.

For the purpose of this study, research questions were formulated: ① How are the meanings of fraction in elementary school textbooks dealt with? ② What is the teachers' Content Knowledge (specifically, SMK and PCK) in elementary schools regarding the meaning of fraction? In order to reach a conclusion to these questions, I have analyzed all fraction parts in textbooks used from grades third through sixth. I also created a fractions questionnaire, that was taken by one hundred teachers working in Jeju's elementary schools. I reviewed reference books about the meanings of fraction and analyzed the text books based on the reference books for the first question. I used the problems about the meanings of fraction's (PCK) for the second question.

The conclusions drawn from the results obtained in this study were as follows: Firstly, as a result of the textbook analysis, it shows that it covers all five meanings of the fraction in the curriculum, but it focuses on Part-Whole fractions and Rational Numbers as Measures for explaining the meaning of fraction. A Fraction is introduced by Part-Whole fractions. Since the third grade, it has been using more and more of the unit fraction, and mainly uses the Rational Numbers as Measures. Whereas, Rational Numbers as Operators, Quotients, and rate are referred as a relatively small proportion. There is not any specific explanation about other concrete meanings of fraction except the meaning of Part-Whole fraction in the teachers guidebook of curriculum. The meaning of the Part-Whole fraction is essential, but is not sufficient to understand remaining fractions. If students do not understand the five meanings of fractions accurately, students would have a difficulty of operating fractions and subsequent learning about fraction. Therefore, it is necessary to have a deep understanding of the meaning of other fractions as well as Part-Whole fraction. Secondly, while looking at the teachers' SMK pertaining to the various meanings of fraction, all of the teachers that participated in the fractions represent the meaning of fraction as Part-Whole fraction among the various meanings of fraction. Teachers understand and show meaning of fractions in the order of Part-Whole fraction, Rational Numbers as Quotients, Rational Numbers as Measures. Rational Numbers as rate, and Rational Numbers as Operators. This is because there is not much of an in-depth understanding pertaining to Quotients, Measures, Rate, and Operators as compared to the understanding of the meaning of fraction as the most fundamental core Part-Whole fraction in the curriculum. It means that the teachers' understanding of fraction can be viewed in a limited way to the meaning of fraction as Part-Whole fraction. It can be assumed that such a phenomenon is related to the fact that there is not a concrete explanation regarding the meaning of fraction in teachers' guide books. Therefore, some changes in the teachers books regarding with meaning of fractions are necessary, in my own humble opinion. Thirdly, when expressing a visual model of the fraction as a Part-Whole fraction, most teachers did not use a discrete quantity model that represents discrete quantities. However, they used a continuous model, such as, a region model and length model that represents continuous quantities. Fourthly, teachers who have mentioned the meaning of fractions as quotient expressed rational number as quotient only in the division into equal parts. This is related to the meaning of the fraction as quotient to be learned from the Rational number as quotient in the first semester in grade six. As a quotient of the first semester of the sixth grade, five classes of six classes in the concept of fraction as quotient are the situation about division into equal parts, and only one class is the situation about division by equal part. In textbooks and teachers' books, it should provide a broad experience with division problems by equal parts in real life associated with rational number as quotient from the situation. Fifthly, few teachers described the meaning of fractions as operators, and only four teachers accurately expressed fractions as operators through visual models or pictures. This means that the meaning of fraction as an Operator is unfamiliar to many teachers. However, there is no portion in the teacher's guidebook that explains the meaning of Rational number as Operators. In other words, short explanations of Rational numbers as Operators in the teachers' guidebook that teachers refer to the most rarely provide information related to helping teachers understand the Rational number as Operators. I believe that these books should put more focus on specific explanations that aim to help teachers understand the meaning of Rational number as operators. Sixthly, most teachers were not able to incorporate the whole unit while implementing the Part-Whole fraction; there was not much room for flexibility. Moreover, many teachers were only able to target one unit, and only two teachers were able to represent all fractions by using the units as a whole. Seventhly, as I observed these teachers' solution by finding a new length of the rod through the given length of the rod, I also took the time to get an understanding of their knowledge regarding the mathematical content. I was able to conclude that the problem is solved through the unifying method rather than the partitioning and iterating. The teachers that used the method of the unification and formula could use the formal algorithm. In contrast, teachers who obtained the length of the rod through the partitioning-iterating operation rather than the method of the unification and formula accepted fraction flexibly not formally. Eighthly, most teachers proposed the appropriate method about setting the unit which is the important notion in Rational numbers as Measures. They have taught the fraction in the number line by setting the unit of one meter. Most teachers know inherently the method about setting the unit which is the important notion in Rational numbers as Measures. It means that teachers have effective PCK about Rational numbers as Measures. Ninethly, teachers' PCK about Rational numbers as Operator is not accurate. In the problem related to the meaning of Rational numbers as Operators, it proceeds to a Part-Whole fraction or Rational number as operator, and then returns to a Part-Whole fraction. You can use the fractional explanation method as a Part-Whole fraction for students' understanding, but interpreting all problems to be considered as Rational numbers as Operators only as Part-Whole fraction does not expand the students' and teachers' concept of fraction. Tenthly, looking at the correspondence between the progress of fractions in textbooks and the progress of the concept or meaning of fractions that teachers think, most teachers think that fractions should be introduced through Part-Whole fraction. However, the degree of agreement between the order of textbooks, and the theory of the teachers when it pertains to measures, operators, quotients, and rates, they are significantly low. Eleventhly, most teachers insist they should teach the various meanings of fraction because of usefulness in real life, mathematical thinking, correcting misconceptions, follow-up learning, the sense of fraction, teachers' lack of knowledge, and leaning interest. The interesting point is the teachers who describe the five meanings of fraction asserted that teaching various meanings of fraction is necessary. It is a meaningful result in the teachings of various meanings of fraction. Twelfthly, there are some difficulties in teaching the meaning of fractions because there are many categories that teachers often times overlook. Such as, ambiguity of semantics, teachers' lack of knowledge, lack of information regarding fractions, mathematical thinking and etc. The explanations of fractions required by teachers include examples of various fractions in real life and how to teach the meaning of various fractions in teachers' books. Difficulties in teaching the meaning of fractions felt by the teachers directly affect the teachers' PCK, which also affects students learning the meaning of fraction. Therefore, we need a method of teaching the meaning of fractions systematically, and we have to prepare an opportunity to think about the meaning of fractions by looking at various situations of fractions in real life. Understanding the five meanings of fractions is the basis of the concept of fractions, so it is an important factor that influences the relational understanding of the four arithmetic operations of fractions, the fraction scheme, and the flexible sense of fractions. This must be described explicitly in textbooks and teachers' books, as it does not naturally form and learn with students and teachers.